הי, יש לי שאלה פשוטה מאד בקומבינטוריקה הסתברות. הבעיה היא שאני פותר את השאלה בשתי דרכים שונות ואני מקבל שתי תוצאות שונות.

4 כדורים (שונים) מחולקים באקראי ל-3 תאים. צריך לחשב את ההסתברות שיש תא עם בדיוק 2 כדורים.

דרך פתרון א'
==========
אני בוחר תא שיהיה עם שני כדורים - 3
אני בוחר את שני הכדורים שיהיו בתא - (4 מעל 2)
אני מחלק את שני הכדורים האחרים לשני התאים האחרים - 2^2

התוצאה שיוצאת היא שמונה תשיעיות

דרך פתרון ב'
==========
אני הולך בדרך המשלים. 1 פחות ההסתברות שאין תא עם שני כדורים.
כלומר, 1 פחות ההסתברות שיש תא עם 4 כדורים פחות ההסתברות שיש תא עם 3 כדורים ועוד כדור בתא אחר).
בוחר את התא שיש בו 4 כדורים - 3
בוחר את התא שיש בו 3 כדורים - 3
בוחר את שלושת הכדורים שיהיו בתא - (4 מעל 3)
בוחר את התא שהכדור הנותר יהיה בו - 2

התוצאה שיוצאת היא שני שלישים.

איזה מהדרכים היא הנכונה ולמה הדרך השניה היא לא נכונה?

פתרון ב' הוא נכון.
בפתרון א' אתה סופר מקרים מסויימים פעמיים, למשל:
(נסמן את התאים ב-A,B,C ואת הכדורים ב-1,2,3,4)
A=1,2    B=3,4

כדאי להפריד את הפתרון לשני מקרים:
- יש בדיוק תא אחד עם שני כדורים   (ההסתברות היא 4/9)
- יש שני תאים עם שני כדורים     (ההסתברות היא 2/9)